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"ザ・モデル"で経済を語るスレ

221 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/26(Fri) 20:25

うーーんとChiang使って主観的割引率定義したのはちょっと勇み足だったな。単純に人口が時点0では1、それが任意のt時点ではe^θtの率で増えていく。このときの

e=lim(1+1/n) n→∞

だから0時点ではe^-θtで割り引くと単純に考えた方がいいんだろうね。独白の世界。

>普通の人さん、Brockwell&DavisやHamiltonの前者はわかりますが、後者はわかりません、書名をご教授ください。それとこの両者をやる前段としてはどんな本をおやりになりましたか?
あとL-Sの序文にはどんなことが書いてあるのでしょうか? すみませんがお暇なときにでも教えてください。
222 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/26(Fri) 20:26

うん、入力がへんだ

e=lim(1+1/n)   n→∞ で後者はlimの下に書くものね。
223 名前:すりらんか 投稿日:2002/07/26(Fri) 20:44

時系列であれば
"Time Series Analysis" James D. Hamilton
が百科全書的で辞書的な利用にむく大著です.
224 名前:一夢庵 投稿日:2002/07/26(Fri) 21:05

>>215-222

おお、歌舞さん&普通の人さんすばらしい。「スレ主なくともスレ育つ」ですね!
はじめはまさかこんなにスレが継続するとは思いもしませんでした(藁

>>223
すりらんかさん、「顧問」(もしくは「相談役」?)として参加してくださいよぉ。
225 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/27(Sat) 00:24

>すりらんかさん、僕からもアドバイスお願いします。銅鑼さんにも休養明けに出てきてもらうと超ハッピー。
さて最適化問題の必要十分条件は、三つありました。以下は脇田さんの直観的な説明に大幅に準拠。脇田本をお持ちの方は、どこらへんが直観的か、つまり議論の複雑性を犠牲にしているかをフォローしておいてください(同書41頁あたり)。ところで脇田さんの説明は、僕も良書であると思っているLeonard and LongのOptimal Control Theory and Static Optimaization in Economicsに負っている部分がかなりありますね。僕は院の初期のころわかりやすい動学の基礎の本がこれと西村清彦さんの本しかなかったので、その意味でも脇田さんの本はとても懐かしい感じさえします。Leonard and Longの137から149頁はとてもわかりやすいのでぜひご参照を。
それと一夢庵さん、ザモデル的な日本経済分析は、脇田さんも紹介しているKing and RebeloのAER83-4の論文なんか面白ろそうですよ。1950年代の日本の利子率は500%でなければならなかったらしいです。fufufufu。

Hc=0
dμ/dt=-Hk
limktμt=0  t→∞

これを(5’)で考えると

Hc=u'(ct)-λt=0 (6)
dλt/dt=λt[θ+n-f'(kt)] (7)
limktu'(ct)exp(−θt)=0  t→∞ (8)

になります。ではこの3つの必要十分条件の各々の意味と必要性を脇田さんの本を使って解説してみましょう。
226 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/27(Sat) 00:25

(6)式は消費水準を決定しています。(これはHが効用表示の国民純生産と同じと考えていいから、消費の微小変化に対応する国民純生産の変化分がゼロのときに最適な消費水準が決定される、と直観的に理解できる)。

脇田さんは36頁で、まず無限時間で連続時間では「なく」、とりあえず有限時間で離散時間の発想でこの3つの条件をそれぞれ説明していきます。Leonard and LongやChiangにも同種の説明がありますので好みに応じてやってください。具体例がB.Fと連結しているのはLeonard and Longではないでしょうか。

この家計は0期からT期まで活動します。この期間の間の消費からの効用を最大化するのがこの家計の目的です。以下のように目的関数は定義されます。ρは一応θとは区別された割引率。

max(ct)=u(c0)+ρu(c1)+ρ^2u(c2)+……+ρ^Tu(cT)=Σρ^tu(ct) Σはt=0からTまで

で、状態変数(先の例のりんごですな)のkは最初と最後の水準が決まっていると考える。
制約条件は、

subject to kt+1-kt=f(kt)-ct t=1,2,3,4,…T (遷移式:状態変数が異時点間でどう変化するかを表したものでしたよね)

k0=k0 (初期条件:左辺のk0にはupper barをつける。つまり初期時点の水準は決まってるよということ)
kT+1=kT+1   (終端条件:左辺のkT+1には同じくupper barを)
227 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/27(Sat) 00:26

お馴染みのラグランジュアンを作成(誰か静学の枠組みでのラグランジュアンとはなんぞや、を説明する投稿をしてくれるとコーパス作成の観点としていいのでは?→血涙院生氏を召喚して頼もうかしら。ハート)

L=Σ{ρ^tu(ct)+λt(f(kt)-ct-kt+1+kt)} =ΣHt t=0からT

これをΣではなく個々の項を明示して書いていこう。

L=u(c0)+λ0(f(k0)-c0-k1+k0)+ρu(c1)+λ1(f(k1)-c1-k2+k1)+ρ^2u(c2)+λ2(f(k2)-c2-k3+k2)+
……+ρ^tu(ct)+λt(f(kt)-ct-kt+1+kt)+ρ^t+1u(ct+1)+λt+1(f(kt+1)-ct+1-kt+2+kt+1)+……
+ρ^T-1u(cT-1)+λT-1(f(kT-1)-cT-1-kT+kT-1)+ρ^Tu(cT)+λT(f(kT)-cT-kT+1+kT)

で、k0は初期条件で、kT+1は終端条件で所与ですよ。で、家計は消費ctと投資kt+1を選択する。ここでなぜktではなくkt+1というと、先のミカン(ct)とりんご(kt+1)の比喩を想起してください。逐次的に決定していくからです。
228 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/27(Sat) 00:28

このラグランジュアンをまず消費について最適条件を求めると、t=0からt=Tまでt+1個の条件式がでてくる。

δL/δct=ρtu'(ct)-λt=0 t=0,……T

これはB.Fの(6)式と含意は同じ。脇田さんの名言「この一財モデルでは、小麦を食べてしまう(消費の限界効用)価値と、タネをまく収益(投資の帰属価値:λt)とが等しい場合が最適であるからである」(37−38頁)。

さて次は投資の水準を決める。ラグランジュアンをkt+1で偏微分すると

δL/δkt+1=-λt+λt+1+λt+1f'(kt+1)=0

λt+1−λt=−λt+1f'(kt+1)   *

1期ずらして表記。

λt−λt-1=−λtf'(kt)

*式のt+1をt+Δtに置き換えて極限をとると

dotλt=−λtf'(kt) **  となる。ちなみにdotλとはλ記号に上にdot(・)がつくということ。時間変化率の表示です。この式はB.Fの(7)式と含意は同じ。
229 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/27(Sat) 00:28

**式(すなわち≒(7)式)の脇田さんによる直観的説明。

「この共役変数λの変化dotλに制約が加わるとは、どういうことだろうか……(それは)資本蓄積を次々と行って各期の資源制約式を変化させていくのだから、この変化のさせ方にも制約を加えて最適な方法を見つけなければならない……ここでkt+1の増加はt期の所得を低下させる効用で測った費用λtがあるが、t+1期の消費可能性を増加させる便益(1+f'(kt+1))λt+1がある。そこで、この費用と便益が一致するように資源制約式を変化させなければならないのである」(38−39頁)。

そんで最後の条件(8)式ですが、脇田本の39−42式に簡単な導出法がありますのでそれを参照ください。発想はいままで書いたものの応用です。で、B.Fにも直観的な意味づけが書かれていて、それはわかりやすいです。43頁ですが、有限時間で考え直して、その最後の時点で資本を残すのはおかしいということです。つまり食べ残しはしないはず(しても意味がないし、最後まで食べた方が効用は増加する)。すなわちKTはゼロ。他方で最後の時点での消費の限界効用はプラスになっているはずだから、両者の積はかならずゼロ。これに極限とったのが(8)式。

さて40頁の後半は41−2とからめてまた次回。
230 名前:普通の人 投稿日:2002/07/27(Sat) 14:37

歌舞音曲さん>
時間選好率の件ですが、B-Fは明示的に書いていませんけれども、
Barro&Sara-i-MartinのP61にその辺りのフォローがあります。
彼らによると、ρ>nを仮定(もし消費が時間を通じて一定であ
れば、効用は上限を持つ)しているみたいですね。
イメージ的には、ρ=ρ*+n。ρ*は人口成長が0の状態下の正の値
の時間選好率である、ということのようです。

Transversarity Conditionの含意としては、最適化をしている
経済主体は無駄を残さないという感じですよね。Transversarity
Conditionと似た概念で注意しなければならないのは、≧の入った
No-Ponzi-Game Conditionですよね。借り逃げは許されないと
直感的にはいえるでしょうか。
231 名前:普通の人 投稿日:2002/07/27(Sat) 15:09

歌舞音曲さん>
>で、問題はふたつあっていろんなモデルに振り回される可能性があり……

 同感です。理論と実務のバランスっていうのは、現実社会である程度の
経験をつまないと得られないものじゃないかと思っています。ただ、学べ
るうちに「いろいろなモデル」を脳の中に詰め込んで、ある状況になった
ときに、漸近的に現実問題に当てはめることができるようなモデルをサー
チできるような土壌は作っておきたいなと思います。混乱しないよう、
頑張らないといけないです。

L-Sは、自身の本がマクロ経済学のためのミクロ経済学的の基礎のための本で
あると述べた上で、序文の一部でBrowing,Hansen,Heckman" Micro Data and
General Equilibrium Models" (in Handbook of Macroeconomics)を取り上げ
ています。彼らの論文では、マクロ経済学のモデルの下にミクロ基礎をすえ
つけるための2つの可能な根拠を明らかにしています。1つはミクロ基礎がある
モデルは造り方によって首尾一貫として、明白であるということ。なぜなら、
これらのモデルは経済主体の目的の記述を含んでいるため、厚生経済学の
標準的な手法を使うことによって、政策介入を分析できるということ。
2点めは、ミクロ基礎のあるモデルは経験的にモデルのパラメターに数値
を割り振り可能なEmpiricalな証拠のソースを拡大した(Lucas)。

L-Sは、2番目については疑問をもちながらも、一番目の主張には
大いに賛成しています。最後に彼らは、We don't think that the clock
will soon be turned back to a time when macroeconomics was done
without micro foundations.と、締めています。

#序文がたーくさんあって、長いのですが、「Microfoundation」という
ところは読む価値はありそうですね。ぼくも、彼らの文章を読んでみたい
(Browing et al.)です。


( 役に立った! | 元スレ )
232 名前:くろき げん 投稿日:2002/07/27(Sat) 16:44

枝葉の話題になってしまいますが。

マクロ経済学関係の日本語文献を色々見てみましたが、「ラグランジェ」「ラグランジェアン」「ラグランジュアン」という言葉や Lagrangean という綴りを見付けて違和感をおぼえました。「ラグランジュ (Lagrange)」「ラグランジアン (Lagrangian)」が普通だと思います。どうでも良い話ですみません。

自然科学畑でラグランジアンとハミルトニアンと言えば解析力学 (古典力学) なのですが、経済学畑の方はラグランジアンやハミルトニアンが出て来る条件付き変分問題の勉強をどうやってマスターしているのでしょうか?
233 名前:血涙院生 投稿日:2002/07/27(Sat) 17:30

呼ばれて飛び出てジャジャジャン!!…(古っ)。

どんどん先に行ってますねー。
なんか、参考文献多いですね、結構持ってるの多いのですが、L-Sや
Barro&Sara-i-Martinは手元にありません(泣。

>普通の人
って、普通じゃないじゃん!ととりあえずツッコミ(笑)。
Obsfeld&RogoffはFoundations of International Macroeconomicsですか?
でしたら手元にあるので見てみたいと思います。

>くろきさん
ラグランジアンは学部なら解法だけで充分(笑)。
ちゃんと理解するためには、ディキシット『経済理論における最適化』
などの良書があります。だけど、私には『物理数学の直感的方法』のような、
経済学物でないやつで、最初に当たりをつけた方が理解はしやすかったです。

>歌舞音曲氏
とりあえず、ROMってますが、なかなか追いつかないよー(泣。
でも、まーそのうち、そのうち。
234 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/27(Sat) 21:53

普通の人さん、洗練された序文なんですね。そのBrowing et alは興味をそそられます。僕は計量音痴×十乗(ほぼ知識は箕谷のスタンダードどまり w)なので、この夏は本業の合間に少し力をいれてやるつもりです。Hamiltonの本も注文したのでそのうち無謀にもその関係でスレたてるかも。それとBarro&Sara-i-MartinのP61の注ですよね。先に書いて訂正してからその記述に気付いて再訂正しようかなと思いましたが、普通の人さんに先を越されましたね。(^-^)
このBarro&Sara-i-Martinは、確かにB.Fを読む上では当面の第2章から3章までは格好のパートナーですね。次の効用関数をめぐる議論もBarro&Sara-i-Martinにかなりお世話になります。

くろきさん、では「ラグランジアン」でいきましょう。それと私は血涙院生さんとはちょっと違って、ディキシットの本はあんまり評価していません。わかりやすすぎました。やはり銅鑼さんがその昔推奨していた小山先生の『経済数学教室』がちゃんとした理解にはいいでしょう。でも、僕も血涙院生さんと同じで院に行く前はチャンの『現代経済学の数学基礎』(上)でただ計算の仕方勉強しただけです(で、いまもその程度)。ハミルトニアンについても小山先生の本がいいのかもしれません。僕は西村清彦さんなどの本で直観的に理解した後は、Intrigatorの本で大枠を学びました。その程度です。なんせ、「歌舞は数学は苦手だねえ」と何度も経済数学の教授にいわれた「崩れ」ですんで。
235 名前:普通の人 投稿日:2002/07/27(Sat) 22:51

くろきげんさん>
欧米の文献を見てみました。くろきさんのご指摘のようにLagrangeanと
ラグランジアンを書くテキストもありました。手元のミクロとマクロ関
連のテキストのインデックスを見てみたところ、

Lagrangean (Sundaram, 市石達郎)
Lagrangian(MWG、Varian、高山晟、Judd、Angel de la Fuente, Dixit,Romer,
L-S, Simon&Blume)

なので、Langrangianと記述するのがいいのかもしれませんね。
勉強は基本は授業で、DPやHamiltonianを。その後、各種テキストで補完する
という感じだと思います。

血涙院生さん>
Obsfeld&RogoffはFoundations of International Macroeconomics(MIT)
はい、そうです。この本のAppendixには、DPやハミルトニアンの解法が
載っているので、ざっと読むことをオススメします。
ラグランジアンのきちんとした理解は、とても大変で講義ノートを見たら
延々と証明が続けられていました……。#もう一度読み直さないと、だめ
ですが陰関数定理のきちんとした証明から、がんがんやっていた記憶
がありました……。

歌舞音曲さん>
Romerよりは厳密にやっている(多少導出がAdhocなところがあるんですけど)
ように思えますし、記述は(一部はわかりにくい)概して親切だと思います。
Hamiltonは実は分厚いですが、丁寧なテキストだなぁと思いました。ぼくは
まだ途中までしか、読んでいないんですけど……。時系列分析は工学で使わ
れると思われる数学の知識(例えばフーリエ変換)、もちろん確率過程も
入ってきたりするので、きちんと理解するためには高度な数学知識が不可欠
ですよね……。やる際にはどうぞよろしく。
236 名前:くろき げん 投稿日:2002/07/28(Sun) 00:48

雑談の続きで申し訳ないが、せっかく調べて来たので。

血涙院生さん、歌舞音曲さん、普通の人さん、情報どうもありがとうございます。数学教えるだけでこんなに大変なのに、さらにその上経済学を教えるのは滅茶苦茶大変なんじゃないかと思っています。

Google で色々探してみたら、 Lagrangean というスペルを使う人が増えた理由が

http://www.cs.technion.ac.il/~maon/writing/which_dict.ps.gz
Which Dictionary for the Mathematical Scientist?
Nicholas J. Higham
January 15, 1994

の11頁に書いてあるのを発見しました。

物理雑誌の Physics Review Letters (PRL) が1985年に Lagrangian のスペルを Lagrangean に変更したという事件があったようです。校正で Lagrangean に統一したということか? いずれにせよ、 PRL は権威ある雑誌なのでその影響は確かに滅茶苦茶大きそうだ。 (^_^;)

PRL による綴りの変更は、 David Mermin によって

[6] N. David Mermin. What's wrong with this Lagrangean? Physics Today, April:9, 1988. Reprinted with postscript in [7].

[7] N. David Mermin. Boojums All the Way Through: Communicating Science in a Prosaic Age. Cambridge University Press, 1990. ISBN 0-521-38880-5.

で批判されました。その後、 PRL は Lagrangian に戻した。
237 名前:↑ 投稿日:2002/07/28(Sun) 06:26

この人、物理の権威ある雑誌には敬意を払いそうだね。
238 名前:歌舞音曲 投稿日:2002/07/28(Sun) 10:48

ラグランジアンの用法についてはそんなエピソードがあるんですか。ためになった。きっと似たようなエピソードが経済学にもあるんでしょうね。

あ、今日明日ぐらいはB.Fはお休みです。「公約」では週休四日ですから。マタリーといきます。

>普通の人さん、フーリエ変換も必要なんですね。これはたいへんだ。まずは小山先生の『経済数学教室』の確率論を読んで準備はじめとこう。まあ工学系については一夢庵さんがいるのでアドバイスしてもらえるし、幻のHamiltonスレも前途揚々?
239 名前:小僧 投稿日:2002/07/28(Sun) 14:04

英語では、クラメールとかヤコビアンとは言っても通じない。小僧は、お日様先生にしょっちゅうヤコビアンではない!と直された。

ちなみに、赤池はアッケイキが正しい(と私の先生は発音していた)。
240 名前:夏の名無しさん 投稿日:2002/07/28(Sun) 14:13

アイゲン・バリューが最悪?>小僧
241 名前:夏の名無しさん 投稿日:2002/07/28(Sun) 14:17

生物学なんか研究者ごとに発音が全く違ったりするよ。
英語同士なのに筆談したりすることがある。





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