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ゲーム理論に関する質問

11 名前:名無しングエルス 投稿日:2000/11/28(Tue) 07:28

レポートぐらい自分でしろ。
Gerard Debreuさんは失礼ながら甘すぎ。
何が教えてくださいだ。
それくらいちょっと調べればわかるだろ。
氏ね。
12 名前:Gerard Debreu 投稿日:2000/11/28(Tue) 08:27

んまあ、解けないと思われるのも癪なので、解きました。9さんありがとう。
2回連続微分可能性と内点解は使ってもいいよね。

後ろ向き帰納法で、親はAを所与として以下の最適化を行う。
max V(lp(A)-B)+kU(lc(A)+B) by B
1次条件は、
-V'(lp(A)-B)+kU'(lc(A)+B)=0
(「'」は1回微分をあらわす。「''」は2回微分 )
Bによる2回微分 V''(lp(A)-B)+kU''(lc(A)+B) が強い凹性より負になるから、
陰関数定理が使えて、
dB/dA=-{-V''(lp(A)-A)lp'(A)+kU''(lc(A)+B)lc'(A)}/{V''(lp(A)-B)+kU''(lc(A)+B)}
(式1・・・あとで、dB/dA=B'(A) と記法を変えるので注意)
親の反応関数 B(A) (Bが single valued であることは強い凹性が保証する。
Bの微分可能性は、上に示したとおり)をもとに、子は以下の最適化を行う。
max U(lc(A)+B(A)) by A
1次条件は、
U'(lc(A)+B(A)){lc'(A)+B'(A)}=0
Uが強く増加的である仮定から、 lc'(A)+B'(A)=0、つまり、lc'(A)=-B'(A)
これを(式2)とする。
式2に式1を代入して整理すると、
V''(lp(A)-B){lc'(A)+lp'(A)}=0
Vの強い凹性より、V''(lp(A)-B)<0、したがって、lc'(A)+lp'(A)=0 ・・・(式3)
lc,lpともに凹関数だから、lc+lpも凹関数。
したがって、式3は、lc+lp=家族全体の所得、を最大化していることを示す。以上。

「家族全体の所得」が最大化されるんでした。さっきのは間違ってたね。悪いね。
間違ってたら指摘してちょ。微分記号が見づらいだろうけど、我慢してくだされ。
13 名前:Gerard Debreu 投稿日:2000/11/28(Tue) 08:40

うわ、見づれえ!あと、1個タイプミスがありました。
(「陰関数定理が使えて、」の次の行の式。
1個目の −V''(lp(A)−A) →→ −V''(lp(A)−B) のところ)
半角±を打ち直してもういちど。

max V(lp(A)−B)+kU(lc(A)+B) by B
1次条件は、
−V'(lp(A)−B)+kU'(lc(A)+B)=0
(「'」は1回微分をあらわす。「''」は2回微分 )
Bによる2回微分 V''(lp(A)−B)+kU''(lc(A)+B) が強い凹性より負になるから、
陰関数定理が使えて、
dB/dA=−{−V''(lp(A)−B)lp'(A)+kU''(lc(A)+B)lc'(A)}/{V''(lp(A)−B)+kU''(lc(A)+B)}
(式1・・・あとで、dB/dA=B'(A) と記法を変えるので注意)
親の反応関数 B(A) (Bが single valued であることは強い凹性が保証する。
Bの微分可能性は、上に示したとおり)をもとに、子は以下の最適化を行う。
max U(lc(A)+B(A)) by A
1次条件は、
U'(lc(A)+B(A)){lc'(A)+B'(A)}=0
Uが強く増加的である仮定から、 lc'(A)+B'(A)=0、つまり、lc'(A)=−B'(A)
これを(式2)とする。
式2に式1を代入して整理すると、
V''(lp(A)−B){lc'(A)+lp'(A)}=0
Vの強い凹性より、V''(lp(A)−B)<0、したがって、lc'(A)+lp'(A)=0 ・・・(式3)
lc,lpともに凹関数だから、lc+lpも凹関数。
したがって、式3は、lc+lp=家族全体の所得、を最大化していることを示す。以上。
14 名前:Gerard Debreu 投稿日:2000/11/28(Tue) 08:48

あんま改良されてない、うう。
分数の記号 「/」も見づらいなあ。
15 名前:Gerard Debreu 投稿日:2000/11/28(Tue) 13:51

家のパソコン開けたら、ちゃんと全角になってた。機種の問題か。
16 名前:春平太 投稿日:2000/11/28(Tue) 16:39

>>9,12,13
ありがとうございました。
次回からはもっと自分で考えてみます。
が、間違っていたら訂正して下さい。
よろしくお願いします。
17 名前:ドラエモンの繰り言 投稿日:2000/11/28(Tue) 17:10

ここは、爺婆からおこちゃままで、経済と経済学に興味を持つ人が「対等な立場」で語り合う
ところでしょう?一方的な知識の贈与を目的にしていないはずではないでしょうか?
それでは「対等」にならないから。

もちろん、論争相手の無知を罵るために(笑)、正しい知識を開陳するのは、それはそれで
結構だと思いますが。
18 名前:Gerard Debreu 投稿日:2000/11/28(Tue) 23:24

方針が立たないならともかく、与えられた証明は自分でフォローしましょう。

と言いたいところですが。。。
英文読解と証明のフォローは自分でやる、ってのが日本の経済学部・院での暗黙の了解だと
思ってたんですが、最近はどうもそうでないらしいですね。
つーかそう思ってたのは私だけか。
この前、以前お世話になった思想系のゼミを覗いてみたら、「英文解釈」の授業になってた。
ふつう、思想系ゼミでは、英文は読めて当たり前で、いかにエッセンシャルにまとめられた
レジュメを書くか、という技量が問われるもんなんすが。
高等教育のあり方も変わっていく、ということなんでしょうか。
19 名前:ドラエモン 投稿日:2000/11/29(Wed) 00:16

昔は、何読めばいいか本の名前さえ教えてくれれば、大感激だったですがね・・・。
なんか、老人の繰り言だな、こりゃ・・・
20 名前:Gerard Debreu 投稿日:2000/11/29(Wed) 00:35

しかしまあ、そういう現状に照らしあわすと、アメリカの
「宿題30%、中間30%、期末40%」というシステムは
本当に絶妙だと思う。
宿題をグループ学習でごまかせても、中間・期末で落ちる。
仮にグループでやるにしても、最終的には自分自身が吸収しないとダメ。
かといって、「どうせグループでごまかしてるんだから馬鹿らしい」といって
宿題をやらないわけにもいかない。
まあ、今の日本で一人だけこれをやったら、受講者がいなくなるだけですけど。

あと、きちんとレクチャーノート・シラバス・文献目録をつくって学生に供給するのも
大学教員の条件なんでしょうね、これからは。
甘すぎるかもしらんが、そうは言ってられない^^;
21 名前:先公 投稿日:2000/12/02(Sat) 02:21

>Gerard Debreu氏
戦前にタイムスリップして学校の授業を受けたら、昭和40年代に
高校生だった者はほとんど落第しているかもしれません。
資料と体験者の監督・助言に基づき、戦前期中等教育の授業を再現する、
という試みを先日、国語についてやったのですが、ありゃあ無理だ、と思いました。
「敗戦後」も、これまでにずいぶん変わりましたから……


( 役に立った! | 元スレ )
22 名前:先公 投稿日:2000/12/03(Sun) 21:34

ところで……
春平太さんは指導してもらう教授とか、いないんでしょうか。
いや……それ以前にもっと、自分で考えてみるという作業の経験に乏しいのでしょうか。
HNが泣きますね。
23 名前:名無しさんの冒険 投稿日:2004/07/13(Tue) 04:36

これ昔解いたことある。>>13の回答で全然OKなんだけど、どんだけ簡潔に書けるか
ちょっと改めてやってみた。

[A]. If the child is "altruist" and maximizes the family income, then, the problem, the FOC
and the SOC are:

max_{A} Ip(A)+Ic(A)
Ip'(A)+Ic'(A)=0
Ip"(A)+Ic"(A)<0

By the assumptions, this problem has a unique interior solution, A**.
Next, the "selfish" child's problem is;

max_{A} Ic(A)+B
s.t. B ∈ argmax_{B'} V(Ip-B)+kU(Ic+B)

By the backward induction, the pearent's problem has:

FOC: -V'(Ip-B)+kU'(Ic+B)=0
SOC: V"(Ip-B)+kU"(Ic+B)<0

By the assumptions, this problem, then, has a unique interior solution, B*.
Since B* depends on Ip and Ic, denote it by B*(Ip,Ic). Then, ∂B*/∂Ip=-(-V")/SOC>0
and ∂B*/∂Ic=-kU"/SOC<0. The child's problem can be rewritten as

max_{A} Ic(A)+B*(Ip(A),Ic(A)),

which has a unique solution A* satisfying the FOC

Ic'(A*)+(∂B*/∂Ip)・Ip'(A*)+(∂B*/∂Ic)・Ic'(A*)=(V"/(V"+kU"))・(Ip'(A*)+Ic'(A*)=0

Since V"<0, it implies the FOC for the altruist child. Hence, A*=A**. (Q.E.D.)
24 名前:23 投稿日:2004/07/13(Tue) 04:46

全然、簡潔じゃなかったかな(笑) あと、子どもの戦略Aに対する親の反応関数Bを
explicitに示している点で、Debreuさんの方がいいと思う。(ゲーム理論の教科書と
いうことを忘れていた。)ひとつタイポ↓

s.t. B ∈ argmax_{B'} V(Ip-B)+kU(Ic+B) → s.t. B ∈ argmax_{B'} V(Ip-B')+kU(Ic+B')

他にミスとかないかな?

これ見てちょっとおもろいと昔思ったのはのは、VとUの厳しい凹性と内点解を仮定して
おくだけで、評価パラメータのk>0の値に関わらず2つの問題のFOCが同値になるということ。
わずかでも親が子どものことを考えて行動しそれが共有知識になっているならば、子どもは
親のために利他的なタイプと「同じだけ」働いて親の収入をあげる。いじましい(笑)。
25 名前:名無しさんの冒険 投稿日:2004/07/14(Wed) 04:05

これって、親の効用がBに関してVとUで完全に分離しているってのが効いてるみたいだな。一般的に、U(B,Ip,Ic)みたいだとどうなるんだろう。たぶん、IpとIcの代替性U_{23}
がどうなるかで結果が変わってくるような気がするんだけど。





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